"Singura modalitate de a învăța matematica este să facem matematică." - Paul Halmos
!!!!Alege pagina dorită pentru a accesa informațiile
0
🏆 Corecte
0
❌ Greșite
0
📚 Total
0
🔥 Serie
0
⭐ Record
0
🔄 Ex. noi
🧮 Exersează calculul cu numere întregi
Numere întregi
Clasa a VI-a · Teorie completă
📖 Ce sunt numerele întregi?
Mulțimea numerelor întregi este formată din toate numerele naturale, opusele lor și zero. O notăm cu ℤ.
Structura mulțimii ℤ
… −3, −2, −1
numere întregi negative
0
zero (nici + nici −)
1, 2, 3, …
numere întregi pozitive
ℤ = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
→ Axa numerelor
Pe axă, un număr mai aflat mai la dreapta este întotdeauna mai mare. Exemplu: −1 > −5 deoarece −1 este la dreapta lui −5.
⇆ Opusul unui număr întreg
Opusul unui număr întreg a este numărul −a, simetricul față de zero pe axă. Suma unui număr cu opusul său este întotdeauna 0.
Exemple
opusul lui 7 este −7
opusul lui −3 este 3
opusul lui 0 este 0
Proprietate
a + (−a) = 0
7 + (−7) = 0
−(−a) = a
📏 Modulul (valoarea absolută)
Modulul unui număr întreg a, notat |a|, reprezintă distanța de la acel număr până la zero pe axă. Modulul este întotdeauna ≥ 0.
| Număr | Modul | Explicație |
|---|---|---|
| |5| | 5 | 5 este la 5 pași de 0 |
| |−5| | 5 | −5 este tot la 5 pași de 0 |
| |0| | 0 | 0 este chiar la origine |
| |−12| | 12 | −12 este la 12 pași de 0 |
|a| = a dacă a ≥ 0 | |a| = −a dacă a < 0 → rezultatul este mereu pozitiv!
↕ Compararea numerelor întregi
Reguli de bază
① Orice număr pozitiv > 0 > orice număr negativ
② Dintre două negative, cel cu modulul mai mare este mai mic
③ Pe axă: mai la dreapta = mai mare
② Dintre două negative, cel cu modulul mai mare este mai mic
③ Pe axă: mai la dreapta = mai mare
Exemple
5 > 0 > −3
−2 > −7 (|−2| < |−7|)
−100 < −1
0 > −999
+ Adunarea numerelor întregi
Semne identice
Se adună modulele și se păstrează semnul comun.
(+4) + (+3) = +(4+3) = +7
(−4) + (−3) = −(4+3) = −7
Semne diferite
Se scade modulul mai mic din cel mai mare; semnul = al celui cu modulul mai mare.
(+7) + (−3) = +(7−3) = +4
(−7) + (+3) = −(7−3) = −4
− Scăderea numerelor întregi
Scăderea se transformă în adunare cu opusul: a − b = a + (−b)
5 − 8 = 5 + (−8) = −3
(−3) − (−7) = (−3) + 7 = +4
× Înmulțirea numerelor întregi
| Semne factori | Semnul produsului | Exemplu |
|---|---|---|
| + × + | + | (+3) × (+4) = +12 |
| − × − | + | (−3) × (−4) = +12 |
| + × − | − | (+3) × (−4) = −12 |
| − × + | − | (−3) × (+4) = −12 |
Regula de reținut: semne identice → produs pozitiv · semne diferite → produs negativ
÷ Împărțirea numerelor întregi
Regulile de semn de la înmulțire se aplică identic și la împărțire. Împărțirea la 0 nu este definită.
(+12) ÷ (+3) = +4
(−12) ÷ (−3) = +4
(+12) ÷ (−3) = −4
(−12) ÷ (+3) = −4
✓ Proprietăți importante
Comutativitate
a + b = b + a
a × b = b × a
Asociativitate
(a+b)+c = a+(b+c)
(a×b)×c = a×(b×c)
Element neutru
a + 0 = a
a × 1 = a
Distributivitate
a×(b+c) = a×b + a×c
3×(−2+5) = 3×(−2)+3×5
💡 Trucul de memorat semnele
Gândește-te la prieteni și dușmani:
Prietenul prietenului meu = prietenul meu → +
Dușmanul dușmanului meu = prietenul meu → +
Prietenul dușmanului meu = dușmanul meu → −
Dușmanul prietenului meu = dușmanul meu → −
Prietenul prietenului meu = prietenul meu → +
Dușmanul dușmanului meu = prietenul meu → +
Prietenul dușmanului meu = dușmanul meu → −
Dușmanul prietenului meu = dușmanul meu → −