0
🏆 Corecte
0
❌ Greșite
0
📚 Total
0
🔥 Serie
0
⭐ Record
0
🔄 Ex. noi

🧮 Exersează calculul cu numere întregi

Numere întregi

Clasa a VI-a  ·  Teorie completă

📖 Ce sunt numerele întregi?
Mulțimea numerelor întregi este formată din toate numerele naturale, opusele lor și zero. O notăm cu ℤ.
Structura mulțimii ℤ
… −3, −2, −1
numere întregi negative
0
zero (nici + nici −)
1, 2, 3, …
numere întregi pozitive
ℤ = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
→ Axa numerelor
… … −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 ← negativele cresc spre stânga pozitivele cresc spre dreapta →
Pe axă, un număr mai aflat mai la dreapta este întotdeauna mai mare. Exemplu: −1 > −5 deoarece −1 este la dreapta lui −5.
⇆ Opusul unui număr întreg
Opusul unui număr întreg a este numărul −a, simetricul față de zero pe axă. Suma unui număr cu opusul său este întotdeauna 0.
Exemple
opusul lui 7 este −7
opusul lui −3 este 3
opusul lui 0 este 0
Proprietate
a + (−a) = 0
7 + (−7) = 0
−(−a) = a
📏 Modulul (valoarea absolută)
Modulul unui număr întreg a, notat |a|, reprezintă distanța de la acel număr până la zero pe axă. Modulul este întotdeauna ≥ 0.
NumărModulExplicație
|5|55 este la 5 pași de 0
|−5|5−5 este tot la 5 pași de 0
|0|00 este chiar la origine
|−12|12−12 este la 12 pași de 0
|a| = a dacă a ≥ 0  |  |a| = −a dacă a < 0  →  rezultatul este mereu pozitiv!
↕ Compararea numerelor întregi
Reguli de bază
① Orice număr pozitiv > 0 > orice număr negativ
② Dintre două negative, cel cu modulul mai mare este mai mic
③ Pe axă: mai la dreapta = mai mare
Exemple
5 > 0 > −3
−2 > −7  (|−2| < |−7|)
−100 < −1
0 > −999
+ Adunarea numerelor întregi
Semne identice
Se adună modulele și se păstrează semnul comun.
(+4) + (+3) = +(4+3) = +7
(−4) + (−3) = −(4+3) = −7
Semne diferite
Se scade modulul mai mic din cel mai mare; semnul = al celui cu modulul mai mare.
(+7) + (−3) = +(7−3) = +4
(−7) + (+3) = −(7−3) = −4
− Scăderea numerelor întregi
Scăderea se transformă în adunare cu opusul: a − b = a + (−b)
5 − 8 = 5 + (−8) = −3
(−3) − (−7) = (−3) + 7 = +4
× Înmulțirea numerelor întregi
Semne factoriSemnul produsuluiExemplu
+ × ++(+3) × (+4) = +12
− × −+(−3) × (−4) = +12
+ × −−(+3) × (−4) = −12
− × +−(−3) × (+4) = −12
Regula de reținut: semne identice → produs pozitiv  ·  semne diferite → produs negativ
÷ Împărțirea numerelor întregi
Regulile de semn de la înmulțire se aplică identic și la împărțire. Împărțirea la 0 nu este definită.
(+12) ÷ (+3) = +4
(−12) ÷ (−3) = +4
(+12) ÷ (−3) = −4
(−12) ÷ (+3) = −4
✓ Proprietăți importante
Comutativitate
a + b = b + a
a × b = b × a
Asociativitate
(a+b)+c = a+(b+c)
(a×b)×c = a×(b×c)
Element neutru
a + 0 = a
a × 1 = a
Distributivitate
a×(b+c) = a×b + a×c
3×(−2+5) = 3×(−2)+3×5
💡 Trucul de memorat semnele
Gândește-te la prieteni și dușmani:
Prietenul prietenului meu = prietenul meu  →  +
Dușmanul dușmanului meu = prietenul meu  →  +
Prietenul dușmanului meu = dușmanul meu  →  −
Dușmanul prietenului meu = dușmanul meu  →  −